【适用时间：20 13 ～20 14 学年第 一 学期 试卷类型：[ A ]卷】

   教

   师

   填

   写

   栏

   课程编号：

   J5510N2011

   试卷编号：

   6019

   课程名称：

   解析几何

   开课学院：

   理学院

   考试形式：

   闭卷

   适用班级：

   数学系2014级学生

   考试时间：

   120分钟

   试卷说明：

   1、本试卷共 6 页。

   2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

   题号

   一

   二

   三

   四

   五

   六

   七

   八

   九

   十

   总分

   累分人

   签 名

   题分

   100

   得分

   考

   生

   填

   写

   栏

   考生姓名：

   考生学号：

   所属学院：

   所属班级：

   所属专业：

   考试日期：

   考 生

   须 知

   1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。

   2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格；

   严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试），

   违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。

   考 生

   承 诺

   本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意接受学校按有关规定处分！

   考生签名：

   一、基本知识测试(每小题4分，共20分)

   得 分

   评阅人

   一、基本知识测试(每小题4分，共20分)

   考生注意：将正确答案前的字母填入空格，可能不止一个.

   1. 在仿射坐标系中，设的坐标分别是，和. 则：共面的充要条件是 A, C, D .

   A. 向量垂直于. B. 存在实数使得.

   C. . D. .

   2. 下列陈述中， B, C, D 是正确的.

   A. 如果，并且，则. B. 垂直的充分必要条件是.

   C. 对任意四个向量，都有.

   D. 对任意三个向量，都成立.

   3. 在仿射坐标系中，直线在平面上的充要条件是方程组的解的情况是 C, D .

   A. 无解. B. 有唯一1组解. C. 至少有2组解. D. 有无数多组解.

   4. 在右手直角坐标系中，方程 A, B, C, D 所表示的曲面是直纹面.

   A. . B. .

   C. . D. .

   5. 二次曲线表示一对虚平行直线的充分必要条件是 A, D .

   A. ，. B. ，. C. .

   D. 曲线C的方程可以化成.

   二、简单计算题(每小题4分，共20分) 本题均为右手直角坐标系.

   得 分

   评阅人

   1. 点到直线的距离 .

   2. 以为顶点的四面体体积是 3 .

   3. 过直线且平行于向量的平面方程是 .

   4. 直线和的公垂线标准方程是 或 .

   5. 直线与平面的夹角满足 .

   三、计算题(每小题10分，共30分)

   得 分

   评阅人

   本题均为右手直角坐标系.

   1. 设锥面的准线为 顶点为，求锥面的方程.

   解. 将准线C的方程改写成

    -------- 2分

   设是锥面上任意一点，但不是顶点. 则存在准线上一点使得M在直母线上. 由于，有实数使得，即

    -------- 2分

   因为在准线C上，将上式代入准线方程得

   (1) -------- 2分

   由第二式得

   . -------- 1分

   代入(1)的第一式，得所求锥面方程

   ， -------- 1分

   即

   . -------- 2分

   或写成 .

   2. 求二次曲面上过点的直线方程.

   解. 设所求直线的方程为

    -------- 2分

   因为直线在曲面上，所以上的点满足曲面的方程，有

   ，. -------- 2分

   即

   ，. -------- 2分

   因此

   .

   由此得

   ，或 -------- 2分

   所求的直线有2条，方程为

   或 -------- 2分

   3. 化简二次曲线

   的方程，并作出它的图形.

   解. 因为

   ，，

   ， -------- 2分

   所以特征根为

   ，. -------- 2分

   简化方程为

   . -------- 2分

   这是2条相交直线.

   为了作图，先求出二次曲线的中心. 解方程组

   得二次曲线的中心. ----------- 2分

   再求二次曲线与轴的交点. 解方程

   ，

   即

   ，

   得二次曲线与轴的交点为和. ---------- 1分

   同理可得二次曲线与轴的交点为和. ---------- 1分

   据此可以作出二次曲线的图形. 事实上，原方程可分解成

   .

   四、证明题(每小题10分，共20分)

   得 分

   评阅人

   1. 证明：三个向量共面的充分必要条件是共面.

   证明. 根据二重外积公式， ----------- 2分

   . ----------- 2分

   所以

    ----------- 2分

    . ----------- 2分

   于是有

   共面共面. ----------- 2分

   2. 设直线与二次曲面

   有三个不同的交点. 证明整条直线都在二次曲面上.

   证明. 将直线的方程写成参数方程

   (1) ----------- 2分

   将上式代入曲面方程，得

   (2) .

   即

   (3)

   . ----------- 3分

   设直线上的点对应的参数为，即，. 由于在二次曲面上，所以满足(2)，即满足(3). 由此可知

   . ----------- 1分

   否则(3)式是关于的二次方程，不可能有三个根. 同理可得

   (3) .

   又因为(3)有解，所以

   . ----------- 2分

   于是任何实数都满足(3)，即直线(1)上的点都满足(2)，都在二次曲面上. ----------- 2分

   五、创新能力测试题(10分)

   得 分

   评阅人

    根据本课程下半个学期所学习的知识(第三、四、五章)，设计一道证明题，并给出证明.

   要求：1. 不能是书上的定理、例题或习题；2. 定理的条件简洁，没有多余的条件；3. 结论正确、清晰，没有歧义.

   考生注意：如果是抄袭书上已有的定理、例题或习题，给0分.

   仅对书上已有的定理、例题或习题作数字的改动，并且证明过程有错误，给2分.

   仅对书上已有的定理、例题或习题作数字的改动，而证明过程基本正确，给4分.

   仅对书上已有的定理、例题或习题作数字的改动，而证明过程正确无误，给6分.

   设计的题目有新意，但证明部分有错误，给8分.

   设计的题目有新意，证明过程正确无误，给10分.