定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)

   证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

   假设d是a,b的一个公约数，则有

   d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r

   因此d也是（b,a mod b）的公约数

   因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

   或：证明：

   第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

   第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

   第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

   第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】

   从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），得证

   以上两种方法实质一样的。

   设计

   辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

   ⒈ 若 r 是 a ÷ b 的余数，且r不为0， 则

   gcd(a,b) = gcd(b,r)

   ⒉ a 和其倍数之最大公因子为 a。

   另一种写法是：

   ⒈ 令r为a/b所得余数（0≤r

   若 r= 0，算法结束；b 即为答案。

   ⒉ 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

   原理

   Lemma 1.3.1 若 a,b 且 a = bh + r，其中 h,r，则 gcd(a,b) = gcd(b,r).

   证 明. 假设 d1 = gcd(a,b) 且 d2 = gcd(b,r). 我们证明 d1| d2 且 d2| d1，因而可利用 Proposition 1.1.3⑵ 以及 d1,d2 皆为正数得证 d1 = d2.

   欧几里德算法图册

   因 d1| a 且 d1| b 利用 Corollary 1.1.2 我们知 d1| a - bh = r. 因为 d1| b,d1| r 且 d2 = gcd(b,r) 故由 Proposition 1.2.5 知 d1| d2. 另一方面，因为 d2| b 且 d2| r 故 d2| bh + r = a. 因此可得 d2| d1.

   Lemma 1.3.1 告诉我们当 a>b>0 时，要求 a,b 的最大公因数我们可以先将 a 除以 b 所得余数若为 r，则 a,b 的最大公因数等于 b 和 r 的最大公因数. 因为 r   a = bh0 + r0，其中 r0   若 r0>0，则存在 h1,r1 使得

   b = r0h1 + r1，其中 0r1   若 r1>0，则存在 h2,r2 使得

   r0 = r1h2 + r2，其中 0r2   如此继续下去直到 rn = 0 为止. 若 n = 0 （即 r0 = 0），则 gcd(a,b) = b. 若 n1，则 gcd(a,b) = rn - 1.

   证 明. 首先注意若 r0 0，由于 r0>r1>r2>... 是严格递减的，因为 r0 和 0 之间最多仅能插入 r0 - 1 个正整数，所以我们知道一定会有 nr0 使得 rn = 0.

   若 r0 = 0，即 a = bh0，故知 b 为 a 之因数，得证 b 为 a,b 的最大公因数. 若 r0>0，则由 Lemma 1.3.1 知

   gcd(a,b) = gcd(b,r0) = gcd(r0,r1） = ... = gcd(rn - 1,rn) = gcd(rn - 1,0) = rn - 1.

   现在我们来看用辗转相除法求最大公因数的例子

   Example 1.3.3 我们求 a = 481 和 b = 221 的最大公因数. 首先由除法原理得 481 = 2 . 221 + 39，知 r0 = 39. 因此再考虑 b = 221 除以 r0 = 39 得 221 = 5 . 39 + 26，知 r1 = 26. 再以 r0 = 39 除以 r1 = 26 得 39 = 1 . 26 + 13，知 r2 = 13. 最后因为 r2 = 13整除r1 = 26 知 r3 = 0，故由 Theorem 1.3.2 知 gcd（481,221） = r2 = 13.

   在利用辗转相除法求最大公因数时，大家不必真的求到 rn = 0. 例如在上例中可看出 r0 = 39 和 r1 = 26 的最大公因数是 13，利用 Lemma 1.3.1 马上得知 gcd(a,b) = 13.

   在上一节 Corollary 1.2.5 告诉我们若 gcd(a,b) = d，则存在 m,n 使得 d = ma + nb. 当时我们没有提到如何找到此 m,n. 我们利用辗转相除法来介绍一个找到 m,n 的方法. 我们沿用 Theorem 1.3.2 的符号. 看 r0 = 0 的情形，此时 d = gcd(a,b) = b 所以若令 m = 0,n = 1，则我们有 d = b = ma + nb. 当 r0 0 但 r1 = 0 时，我们知 d = gcd(a,b) = r0. 故利用 a = bh0 + r0 知，若令 m = 1,n = - h0，则 d = r0 = ma + nb. 同理若 r0 0,r1 0 但 r2 = 0，则知 d = gcd(a,b) = r1. 故利用 a = bh0 + r0 以及 b = r0h1 + r1 知

   r1 = b - r0h1 = b - (a - bh0)h1 = - h1a + （1 + h0h1）b.

   因此若令 m = - h1 且 n = 1 + h0h1，则 d = r1 = ma + nb. 依照此法，当 r0,r1 和 r2 皆不为 0 时，由于 d = gcd(a,b) = rn - 1 故由 rn - 3 = rn - 2hn - 1 + rn - 1 知 d = rn - 3 - hn - 1rn - 2. 利用前面推导方式我们知存在 m1,m2,n1,n2 使得 rn - 3 = m1a + n1b 且 rn - 2 = m2a + n2b 故代入得

   d = (m1a + n1b) - hn - 1(m2a + n2b) = (m1 - hn - 1m2）a + (n1 - hn - 1n2）b.

   因此若令 m = m1 - hn - 1m2 且 n = n1 - hn - 1n2，则 d = ma + nb.

   上面的说明看似好像当 r0 0 时对每一个 i {0,1,...,n - 2} 要先将 ri 写成 ri = mia + nib，最后才可将 d = rn - 1 写成 ma + nb 的形式. 其实这只是论证时的方便，在实际操作时我们其实是将每个 ri 写成 mi042ri - 2 + ni042ri - 1 的形式慢慢逆推回 d = ma + nb. 请看以下的例子.

   Example 1.3.4 我们试着利用 Example 1.3.3 所得结果找到 m,n 使得 13 = gcd（481,221） = 481m + 221n. 首先我们有 13 = r2 = 39 - 26 = r0 - r1. 而 r1 = 221 - 5 . 39 = b - 5r0，故得 13 = r0 - (b - 5r0) = 6r0 - b. 再由 r0 = 481 - 2 . 221 = a - 2b，得知 13 = 6(a - 2b) - b = 6a - 13b. 故得 m = 6 且 n = - 13 会满足 13 = 481m + 221n.

   要注意这里找到的 m,n 并不会是唯一满足 d = ma + nb 的一组解. 虽然上面的推演过程好像会只有一组解，不过只能说是用上面的方法会得到一组解，并不能担保可找到所有的解. 比方说若令 m042= m + b,n042= n - a，则 m042a + n042b = (m + b)a + (n - a)b = ma + nb = d. 所以 m042,n042也会是另一组解. 所以以后当要探讨唯一性时，若没有充分的理由千万不能说由前面的推导过程看出是唯一的就断言是唯一. 一般的作法是假设你有两组解，再利用这两组解所共同满足的式子找到两者之间的关系. 我们看看以下的作法.

   Proposition 1.3.5 假设 a,b 且 d = gcd(a,b). 若 x = m0,y = n0 是 d = ax + by 的一组整数解，则对任意 t,x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解，而且 d = ax + by 的所有整数解必为 x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 其中 t 这样的形式.

   证 明. 假设 x = m,y = n 是 d = ax + by 的一组解. 由于已假设 x = m0,y = n0 也是一组解，故得 am + bn = am0 + bn0. 也就是说 a(m - m0) = b(n0 - n). 由于 d = gcd(a,b），我们可以假设 a = a042d,b = b042d 其中 a042,b042且 gcd(a042,b042) = 1 （参见 Corollary 1.2.3）. 因此得 a042(m - m0) = b042(n0 - n). 利用 b042| a042(m - m0),gcd(a042,b042) = 1 以及 Proposition 1.2.7⑴ 得 b042| m - m0. 也就是说存在 t 使得 m - m0 = b042t. 故知 m = m0 + b042t = m0 + bt/d. 将 m = m0 + bt/d 代回 am + bn = am0 + bn0 可得 n = n0 - at/d，因此得证 d = ax + by 的整数解都是 x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 其中 t 这样的形式. 最后我们仅要确认对任意 t,x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 皆为 d = ax + by 的一组整数解. 然而将 x = m0 + bt/d,y = n0 - at/d 代入 ax + by 得 a(m0 + bt/d)+ b(n0 - at/d)= am0 + bn0 = d，故得证本定理.

   利用 Proposition 1.3.5 我们就可利用 Example 1.3.4 找到 13 = 481x + 221y 的一组整数解 x = 6,y = - 13 得到 x = 6 + 17t,y = - 13 - 37t 其中 t 是 13 = 481x + 221y 所有的整数解.